Matrix二維陣列
旋轉、轉置、螺旋走訪、四方向移動。
用在：影像處理、棋盤遊戲、網格地圖
01為什麼需要它
手機拍的照片方向不對，要旋轉。圖片就是一個「高 × 寬」的像素矩陣，記憶體有限，不想再開一張一樣大的圖。
為什麼用它旋轉 90° 可以拆成「轉置」加「每列反轉」兩個原地操作，O(1) 額外空間。這種把幾何變換拆成簡單步驟的思路，影像處理裡到處都是。
井字遊戲判斷連線、掃雷算周圍幾顆雷、遊戲地圖上找從 A 到 B 的路，都是在二維格子上「看鄰居」。
為什麼用它用方向陣列 [(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)] 表示上下左右，一個迴圈搞定四方向加邊界檢查。之後圖論的網格 BFS / DFS 都用這個寫法。
Excel 的一張表、機器學習的一批資料、線性代數的矩陣，都是二維陣列。要取某一行、轉置、對一整塊區域做運算。
為什麼用它理解「先列後行」的索引、記憶體是一列一列連續放的，就知道為什麼按列走比按行走快（快取友善），也知道怎麼正確建立與走訪。
看到這些關鍵字就想到它：grid、二維、m × n、上下左右、鄰居、旋轉／轉置、螺旋、棋盤、影像。
02核心概念
二維陣列就是「陣列的陣列」：grid[r][c] 先選第 r 列，再選那一列裡的第 c 格。慣例是 r 是列（row，垂直方向）、c 是行（column，水平方向），m = len(grid) 是列數、n = len(grid[0]) 是行數。把 r 和 c 弄反是這類題最常見的 bug。
記憶體裡它其實是一維的：一列接著一列連續放（row-major），所以 grid[r][c] 也可以寫成一維的 flat[r × n + c]。反過來，一維索引 k 對應 (k ÷ n, k mod n)。這個轉換讓「在 m × n 矩陣上二分搜尋」變成普通的一維二分搜尋。
矩陣題有三個固定工具。方向陣列：把四個（或八個）方向寫成 (dr, dc) 列表，一個迴圈走完所有鄰居，邊界檢查只寫一次。邊界收縮：螺旋走訪用 top / bottom / left / right 四條邊往內縮，比記方向轉彎乾淨。原地變換：旋轉 = 轉置 + 反轉；標記資訊可以借用第一列和第一行存，省下 O(mn) 的額外空間。
03演算法步驟
- 1先確認
m、n與索引順序：grid[r][c]，0 ≤ r < m，0 ≤ c < n。空矩陣要特判。 - 2要看鄰居時用方向陣列：
for dr, dc in DIRS，算出(nr, nc)後做邊界檢查再處理。 - 3螺旋走訪：右→下→左→上各走一邊，走完一邊就把對應的邊界往內縮一格；每一輪走「左」與「上」之前要再檢查邊界沒交叉，否則單列或單行會重複。
- 4旋轉 90°（順時針）：對角線上方逐對
swap(a[r][c], a[c][r])完成轉置，再把每一列反轉。逆時針則改成每一行上下反轉。 - 5需要「標記某列某行」又不能開新空間時，把標記寫在第一列與第一行，但要先另外記下它們本身原本有沒有被標記。
04互動示範
「螺旋走訪」逐格顯示走訪順序與四條邊界怎麼收縮；「旋轉 90°」逐步展示轉置的每一次交換，再看每一列反轉。
格子裡的數字是走訪順序。灰框是目前的邊界，每走完一邊就往內縮一格。
05程式碼
從建立矩陣與方向陣列開始，接著是螺旋走訪、原地旋轉，以及用邊列邊行當標記的 Set Matrix Zeroes。
# 建立 m × n 的矩陣：注意不能寫 [[0] * n] * m，那會讓每一列是同一個 list
grid = [[0] * 4 for _ in range(3)]
m, n = len(grid), len(grid[0]) # 列數、行數
grid[r][c] # 先列後行
# 四方向移動：用方向陣列，不要寫四段 if
DIRS = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)] # 右、下、左、上
def neighbors(r, c):
for dr, dc in DIRS:
nr, nc = r + dr, c + dc
if 0 <= nr < m and 0 <= nc < n: # 邊界檢查放在同一個地方
yield nr, nc
# 螺旋走訪（LeetCode 54）：四個邊界往內縮
def spiral_order(matrix):
out = []
top, bottom = 0, len(matrix) - 1
left, right = 0, len(matrix[0]) - 1
while top <= bottom and left <= right:
for c in range(left, right + 1): out.append(matrix[top][c])
top += 1
for r in range(top, bottom + 1): out.append(matrix[r][right])
right -= 1
if top <= bottom:
for c in range(right, left - 1, -1): out.append(matrix[bottom][c])
bottom -= 1
if left <= right:
for r in range(bottom, top - 1, -1): out.append(matrix[r][left])
left += 1
return out
# 原地順時針旋轉 90°（LeetCode 48）：轉置，再每列反轉
def rotate(matrix):
n = len(matrix)
for r in range(n):
for c in range(r + 1, n): # 只換對角線上方
matrix[r][c], matrix[c][r] = matrix[c][r], matrix[r][c]
for row in matrix:
row.reverse()
# 用第一列、第一行當標記，O(1) 額外空間（LeetCode 73）
def set_zeroes(matrix):
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
first_row_zero = any(matrix[0][c] == 0 for c in range(n))
first_col_zero = any(matrix[r][0] == 0 for r in range(m))
for r in range(1, m):
for c in range(1, n):
if matrix[r][c] == 0:
matrix[r][0] = matrix[0][c] = 0 # 記在邊上
for r in range(1, m):
for c in range(1, n):
if matrix[r][0] == 0 or matrix[0][c] == 0:
matrix[r][c] = 0
if first_row_zero:
for c in range(n): matrix[0][c] = 0
if first_col_zero:
for r in range(m): matrix[r][0] = 006練習題
- LeetCode 54Spiral MatrixMedium
- LeetCode 48Rotate ImageMedium
- LeetCode 73Set Matrix ZeroesMedium
- LeetCode 36Valid SudokuMedium
- LeetCode 74Search a 2D Matrix（二維當一維二分）Medium
- LeetCode 200Number of Islands（先用方向陣列 + DFS 試試）Medium